ZETA

Art et Culture nous évoquent peinture et sculpture, musique et poésie, théâtre et cinéma. Et les mathématiciens , le saviez-vous, considèrent leur discipline comme un art et que dire des Sciences : l’art de découvrir la beauté de la nature. Mais est-ce vraiment un art quand on sait que la science ne se conçoit que dans le changement, évolue tout le temps, est aussi vivante que l’objet de son étude. A l’opposé les œuvres d’art classiques sont figés, n’évoluent plus, Art et Arrêt vont ensemble.

Zéta est une fonction mathématique, belle, troublante, mystérieuse, vivante. Connue depuis trois siècles, elle ne nous a pas encore livrée tous ses secrets. Les plus grands mathématiciens l’ont étudiée, Euler, Riemann, Gauss, Hilbert, des noms prestigieux !  Grâce à Euler, les étudiants s’amusent à calculer le nombre Pi. Avec Riemann en 1859 nous entrons dans le vif du sujet, il émet une hypothèse. Hilbert ,le Grand Mathématicien, l’incorpore  40 ans plus tard en 1900 parmi les 23 problèmes que le vingtième siècle doit résoudre. Elle n’est pas encore démontrée. Mais sa beauté et sa grandeur n’est pas là.  Zéta est une série c’est à dire on part de un et on ajoute le chiffre entier suivant (2) élevé à une certaine puissance (2 !S) et on continue avec le nombre entier suivant. Cette série est égale, et c’est son premier caractère inattendu, à un produit où intervient que les nombres premiers élevés à la puissance –S. Une somme d’un coté, un produit de l’autre ; des entiers bien connus d’un coté, des nombres premiers qu’aucune formule ne permet de calculer de l’autre. Vous l’avez deviné Zéta nous fait entrer dans le monde des nombres premiers qui semblent être distribués aléatoirement parmi les nombres entiers. Zéta nous fait entrer dans le monde du hasard. Voilà pourquoi mathématiciens et physiciens sont intéressés. Cette distribution des nombres premiers a été brillamment étudiée par Gauss alors agé de 15 ans ! (1792 théorème des nombres premiers). Riemann établit un lien avec les fonctions Zéta  dont la puissance est un nombre complexe (S), et émet son hypothèse : Pour certaines valeurs de S les fonctions Zéta (dit de Riemann) peuvent s’annuler, la partie réelle de S vaut ½. Cette fameuse hypothèse n’est pas encore démontrée.

Les zéros des fonctions Zéta de Riemann permettent de mieux comprendre le comportement des nombres premiers comme le dit Gilles Lachaud directeur de l'équipe "Arithmétique et Théorie de l'nformation" de institut de mathématiques de Luminy, CNRS, Marseille.

 « la probabilité pour qu'un nombre x soit premier est de l'ordre de l / log x, mais leur comportement local est imprévisible : il y a des oscillations. En quelque sorte, la distribution des nombres premiers se comporte comme la distribution des molécules dans un gaz parfait. »

Les fonctions Zéta de Riemann troublent encore de nos jours les physiciens, qui font une analogie entre la distribution des nombres premiers et les distributions aléatoires que l’on rencontre dans la nature.  C’est réellement magique, comment un comportement aléatoire qui par définition ne peut pas être défini par une loi, peut révéler aux physiciens quelques propriétés et encore plus énigmatique ces propriétés peuvent être connues grâce à l’études des nombres premiers.

Comme le dit Youri Manine, directeur de l'Institut Max-Planck de Bonn : " Les idées les plus profondes de la théorie des nombres présentent une ressemblance considérable avec celles de la physique théorique moderne. Comme la mécanique quantique, la théorie des nombres fournit des modèles de relations entre le discret et le continu, et met en valeur le role des symétries cachées. On souhaiterait espérer que cette ressemblance ne soit pas fortuite, et que nous soyons en train d'apprendre de nouveaux mots sur le monde dans lequel nous vivons, dont nous ne comprenons pas encore le sens ".

Les cryptographes s’en emparent dans l’élaboration de leur code secret. La physique du chaos quantique de Wigner (père de la théorie des matrices aléatoires) s’en intéressent.

 Nature, Physiques, Mathématiques et Philosophie ? Voilà pourquoi Zéta est belle.